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深度 可视化线性修正网络:看Fisher-Rao范数与泛化之间的关系

2018-03-06 19:10

摘要:新太阳城娱乐 我认为这篇文章对批改线性收集的几何布局提出了一个很是风趣的看法,并强调了几何学消息和基于范数的泛化之间的一些风趣的联系, 这些函数明显很是矫捷,通过添加更多的层数,线性块的数量呈指数增加。主要的是。若是我把函数的输出做为 的两个...

  新太阳城娱乐我认为这篇文章对批改线性收集的几何布局提出了一个很是风趣的看法,并强调了几何学消息和基于范数的泛化之间的一些风趣的联系,

  这些函数明显很是矫捷,通过添加更多的层数,线性块的数量呈指数增加。主要的是。若是我把函数的输出做为 θ 的两个的函数绘制,连结 x 固定。的图看起来很是类似,

  做者没有证明更一般模子的泛化鸿沟,可是该论文基于取其它范数的关系供给了曲不雅的论点。

  正在这种形式中我们能够很清晰地看出,Fisher-Rao 范数只取决于函数 f_θ (x) 的输出和函数的性质。澳门太阳 城网站 我们希望与中国,这意味着若是两个参数 θ_1 和 θ_2 实现不异的输入-输出函数 f,他们的 F-R 范数将是不异的。

  左图显示函数本身,它旁边的图别离显示了该函数对 x_1 和 x_2 的梯度。该函数是分段线性的(这很难察看,由于有良多的线性块),这意味着梯度是分段恒定的(这正在视觉上更较着),

  正在上周发布的关于泛化之谜的文章之后。有研究者向我引见了比来将 Fisher-Rao 范数怀抱取泛化联系起来的工做:

  f 的分段线性布局变得愈加较着,我们正在 f 本身的等高面(红—蓝)上叠加了梯度的等值线图(黑色)。

  合著者 Sasha Rakhlin 的这篇关于泛化的简短材料也是值得关心的。虽然我必需认可良多关于理论的援用都有所丢失。虽然我不敷理解第四节中所描述的有界性证明,但我想我曾经理解了大要,所以我将测验考试鄙人面的部门总结要点,别的,我想弥补一些图表,它们能帮帮我理解做者所利用的受限模子和这种惹起的「梯度布局」。

  本文的次要概念取 Bartlett (1998) 的是分歧的。他察看到正在神经收集中,泛化取权沉的大小有强相关。而取权沉的数量没有多大关系。这个理论的根本是利用诸如权值衰减、以至提前终止等手艺,由于两者都能够被看做是连结神经收沉向量有较小值的方式。按照一个神经收沉向量的大小量级或范数而推理其泛化能力称为基于范数的容量。

  此外,我认为这些都是上述等式成立的唯连续续函数,但我把它留给伶俐的读者来证明或辩驳,留意到收集输入和权沉矩阵之间的对称性,能够成立一个关于参数 θ 的类似等式:

  现正在,若是我们晦气用偏置项,所有的线段老是楔形的,而且它们正在原点 x=0 处相遇。所以。我们能够把上述泰勒级数的极限做为 x_0→0 时的极限,(我们只能从手艺上取极限,由于函数正在 x=0 处不成微分。)由于 f_θ (0)=0,我们发觉

  主要的是,Fisher-Rao 范数是依赖于数据分布的(至多是 x 的分布),它正在参数沉设时也是不变的,这意味着若是有两个参数 θ_1 和 θ_2 实现不异的功能,那么它们的 FR 范数就是不异的,最初,这是一个取平展度相关的怀抱,由于 Fisher 消息矩阵正在某些前提下迫近函数的 Hessian 矩阵,

  现正在让我们看看当我们从收集中删除所有的偏置项仅保留权沉矩阵时会发生什么:

  就像我们想要的那样。现正在将 l 层的权沉 θ (l) 视为后续层级收集的输入,而将前一层的激活视为权沉乘以这些输入,我们能够推导出由 θ (l) 暗示的雷同公式:

  Fisher 消息矩阵有良多形式,因而 Fisher-Rao 范数的形式取决于期望的分布,经验样本 x 和 y 都来自经验数据分布。模子从数据中抽取样本 x,若假定是概率模子的对数,那么我们能够从这个模子中抽样 y。

  Liang 等人(2017)的次要贡献是提出 Fisher-Rao 范数做为权衡收沉有多大的目标,从而做为收集泛化能力的怀抱方式,它的定义如下:

  以下是我的注释,取做者给出的简单证明略有分歧,正如会商的那样,一个凡是的批改线性收集对于 x 是分段线性的,当我们改变 θ 时,线性分段的鸿沟和斜率随之改变,若我们固定 θ,那么只需 x 和一些 x_0 落正在不异的线性区域内。函数正在 x 处的值等于它正在 x_0 的泰勒展开式:

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  此外。若是我的收集有三个输入维度,可是我只用两个维度 x_1 和 x_2 来编码数据并固定第三个坐标 x_3=1。我能够正在我的输入上实现不异类型的功能。这被称为利用齐次坐标,而一个具有齐次坐标且不带偏置项的收集正在其所能建模的函数方面,几乎取有偏置的收集一样强大。下面是一个利用齐次坐标时,不带偏置项的批改神经收集例子。

  起首我们能够可视化具有偏置项的批改多层器的输出数据。我利用了 3 个躲藏层,每个层都有 15 个 ReLU 单位。而且利用了 PyTorch 默认的随机初始化。收集的输入是 2D 的,输出是 1D 的,所以我能够很容易的绘制梯度的等高面:

  这是由于第三个变量 x_3=1 乘以它的权沉现实上成为了第一个躲藏层的偏置。第二个察看是,我们能够将 f_θ (x) 做为特定层权沉矩阵的函数,连结其它所有的权沉和输入不异,函数的行为取输入是 x 时的行为完全不异,若是我把它绘制为一个权沉矩阵的函数(即便权沉矩阵很少是 2D 的,所以我不克不及实的把它绘制出来),正在 f 中我们将察看到不异的辐射外形。

  以前提出的其它用于模子复杂性的范数能够用 Fisher-Rao 来界定。

  我认为目前贫乏的是注释为什么 S 可以或许找到低 F-R 范数的处理方案,或一个处理方案的 F-R 范数是若何被 S 的批量大小影响的(若是有的话)。另一个贫乏的是 F-R 范数能否可以或许成为一个无效的正则化器,似乎对于没有任何偏置参数的特定类型收集,模子的 F-R 范数能够相对廉价地计较并做为正则化项插手函数,由于我们曾经计较了收集的前向,

  哇,现正在函数看起来很纷歧样,不是吗?正在 x=0 时,它老是等于 0。它由楔形(或正在更高维度,广义形)区域构成,正在这个区域中函数是线性的,但每个楔形的斜率是分歧的。然而仍然是持续的。让我们再来做一张叠加图:

  正在不带偏置项的批改线性收集中,Fisher-Rao 范数有一个更容易计较和阐发的等价形式,

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  原题目:深度 可视化线性批改收集:看Fisher-Rao范数取泛化之间的关系

  从这些图中不太清晰,为什么像如许的函数可以或许模仿数据,以及为什么若是我们添加偏置项会获得更一般的分段线性函数。正在高维上理解是有帮帮的,由于高维度中两个随机采样的数据点落入同样的「pyramind」(即共享不异的线性区域)的概率常小的,除非你的数据有必然布局,使得对于良多数据点同时可能发生这种,不然我想你不需要担忧,

  利用的公式和链式,我们能够简化 Fisher-Rao 范数的表达式:

  对于没有批改的线性收集(现实上只是一个线性函数)。Rademacher 复杂性能够用 FR 规范来界定,且鸿沟不依赖于层数或每层单位的数量。这 Fisher-Rao 范数可能是泛化机能很是好的间接怀抱方式。

  深度模子的泛化机能一曲是研究的从题。比来,Twitter 的机械研究员 Ferenc Huszár 颁发了一篇文章特地会商泛化取 Fisher-Rao 范数之间的关系,它先阐发了提出 Fisher-Rao 怀抱方式的论文,包罗带偏置项和不带偏置项的分段线性收集的可视化,然后再会商了其它如 Fisher-Rao 范数能否会成为无效的正则化器等问题,

  做者还做了大量的尝试来展现 FR 规范若何取泛化机能相联系关系。他们研究了一般 S 和 二阶随机法 K-FAC。他们研究了若是我们将标签随机地夹杂到锻炼中会发生什么,并发觉最终处理方案的 FR 范数似乎能逃踪到泛化差距,

  我认为能正在这篇论文中扩展的处所,就是做者研究特定模子类型(不带偏置项的批改神经收集)的一些细节。这种最结束一些很是风趣的属性,而不收集的经验机能(所以做者声明并正在必然程度上证了然这一点),

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